文章目录

• 事件间的关系
• 事件间的运算
• 事件间的运算法则
• 概率
• • 描述性定义
  • 统计性定义
  • • 频率
    • • 频率的性质
    • 频率是否能够作为概率呢？
  • 公理化定义
  • 概率的重要性质

事件间的关系

• 注意互斥关系和对立关系：

  • 互斥关系是：只要 A,BA,BA,B 不同时发生（不存在公共样本点）即可
  • 对立关系的要求更强：要求不仅 A,BA,BA,B 不同时发生，而且 A+B=SA+B=SA+B=S ，表示为 A=Bˉ,B=AˉA=\bar B, B=\bar AA=Bˉ,B=Aˉ

• 多组事件之间的互不相容关系的表示
  

事件间的运算

• 因为之前说过事件就是集合，因此如果两个事件取 并集 ∪\cup∪，就代表这个事件的范围变大了，比如掷骰子的点数的样本空间 S={1,2,3,4,5,6}S=\{1,2,3,4,5,6\}S={1,2,3,4,5,6} ，获得奇数点数的随机事件 A={1,3,5}A=\{1,3,5\}A={1,3,5}, 获得偶数的随机事件 B={2,4,6}B=\{2,4,6\}B={2,4,6} 那么获得奇数或者偶数的随机事件 C=A+B={1,2,3,4,5,6}=SC=A+B=\{1,2,3,4,5,6\}=SC=A+B={1,2,3,4,5,6}=S
• 交集运算，当然只存在于 A,BA,BA,B 同时发生的时候。
• A−B=A∩B‾A-B=\overline{A\cap B}A−B=A∩B
  
  

事件间的运算法则

概率

描述性定义

• 一个随机事件 AAA 发生的可能性度量（非负）

统计性定义

频率

• 在相同的条件下进行了 nnn 次实验，其中事件 AAA 发生的次数是 nAn_AnA​ 那么 nAn_AnA​ 称为事件 AAA 发生的频数，nAn\frac{n_A}{n}nnA​​ 称为事件 AAA 发生的频率，记作 fn(A)f_n(A)fn​(A)

频率的性质

• 事件 AAA 发生的频率 fn(A)f_n(A)fn​(A) 在 [0,1][0,1][0,1] 之间
• fn(S)=1f_n(S)=1fn​(S)=1
• 对于 NNN 个互不相容的事件 A1,A2,...,ANA_1,A_2,...,A_NA1​,A2​,...,AN​ 有：f(A1∪A2∪,...,AN)=f(A1)+f(A2)+,...,f(AN)f(A_1\cup A_2 \cup ,...,A_N)=f(A_1)+f(A_2)+,...,f(A_N)f(A1​∪A2​∪,...,AN​)=f(A1​)+f(A2​)+,...,f(AN​)

频率是否能够作为概率呢？

• 不同的人做同一个实验，一个事件出现的频率可能是不同的，比如张三抛100次硬币，正面出现的频率为 0.550.550.55，李四则是 0.530.530.53。
• 我们又知道，概率是一个定值，是一个客观的数据
• 但是当实验的基数够大的时候，即 n→∞n\rightarrow \infinn→∞ 的时候，频率会稳定到一个数值
• 但是有些实验（比如灯泡损坏的概率）是不可操作的，不能够进行足够多的实验，
• 这也就迫使数学家对概率进行公理化的定义

公理化定义

• 只要满足这三条性质，就是 概率。

概率的重要性质

• P(∅)=0P(\empty)=0P(∅)=0
• AAA 发生 BBB 不发生的概率：P(A−B)=P(AB‾)=P(A)−P(AB)P(A-B)=P(A\overline B)=P(A)-P(AB)P(A−B)=P(AB)=P(A)−P(AB)
• 单调性： 如果 B⊂AB\subset AB⊂A 则 BBB 发生的时候 AAA 一定发生并且 P(A−B)=P(A)−P(B)P(A-B)=P(A)-P(B)P(A−B)=P(A)−P(B) ，而且 P(A)≥P(B)P(A)\ge P(B)P(A)≥P(B)
• 有界性： P(A)≤1P(A)\le 1P(A)≤1
• 逆事件概率： P(A‾)=1−P(A)P(\overline A)=1-P(A)P(A)=1−P(A)
• 加法公式： P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)