机器学习-（手推）线性回归3-正则化-岭回归（Ridge）-频率角度贝叶斯角度

创始人

2024-02-27 00:01:51

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一、正则化-岭回归-频率角度

回顾：

Loss Function：

过拟合的解决方法：

①最直接：加数据

②降维（特征选择/特征提取（PCA））

③正则化（对参数空间，例如w的约束）

正则化的框架：

$L(w) + \lambda P(w)$

（L(w)：Loss Function λ：惩罚系数 P(w)：penalty(惩罚项)）

即优化的目标为： $argmin[L(w) + \lambda P(w)]$

若为 $L_{1}$ 正则化：Lasso回归 P(w) = $||w||_{1}$

若为 $L_{2}$ 正则化：岭回归 P(w) = $||w||_{2}$ = $w^{T}w$

(备注 $L_{2}$ 正则化又叫权重衰减)

优化目标函数：

接下来就对J(w)求极值计算w的最优值：

目标： $w\hat{} = argminJ(w)$

过程：

$\frac{\partial J(w)}{\partial x} = 2(X^{T}X + \lambda E)\omega - 2X^{T}Y=0$

$(X^{T}X + \lambda E)\omega =X^{T}Y$

$\omega \hat{} = (X^{T}X + \lambda E)^{-1}X^{T}Y$ （岭回归下得到的解析解）

二、正则化-岭回归-贝叶斯角度

回顾：

目标： argmaxP(y|w)*P(w)

结论：

①无正则化：最小二乘法（LSE） 等价于 最大似然估计（MLE）-（noise服从高斯分布）

② $L_{2}$ 正则化：Regularized LSE 等价于 最大后验估计（MAP）-（noise服从高斯分布）

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