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引子

楼梯有 N阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。

编一个程序，计算共有多少种不同的走法。

例：

• 0层：1种
• 1层：1种
• 2层：2种
• 3层：3种
• 4层：5种
• ...

洛谷题链(原题需要压位高精、矩阵快速幂，本文只讨论该问题的常规解法及优化思路)

解题思路

走楼梯，要么一次走一阶，要么一次走两阶，那我每次的走法就等于=上一阶的方案数+上上阶的方案种数，这就推出了方程：

f[i]=f[i-1]+f[i-2]

同时考虑边界：0阶或者1阶的答案都是1种。

由此将问题转化为求解Fibonacci数列（也叫兔子数列，黄金分割数列，斐波那契数列等）第n阶。

基操写法（递推）

我们已知第n阶等于第n-1阶加第n-2阶，直接使用循环递推即可

const getFibonacci = (n) => {let fibonacciArr = [1,1];if (n < 2) return a[n];for (let i = 2; i <= n; i++) {if (i < n) fibonacciArr.push(fibonacciArr[i - 1] + fibonacciArr[i - 2]);else return fibonacciArr[i - 1] + fibonacciArr[i - 2];}
};
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递推 + 滚动压缩

已知方程f[i]=f[i-1]+f[i-2]只使用了i，i-1，i-2

所以可以滚动压缩，节省数组开销，得到 f[i%3]=f[(i+1)%3]+f[(i+2)%3]

const getFibonacci = (n) => {let fibonacciArr = [1, 1, 2];if (n < 3) return fibonacciArr[n];for (let i = 3; i <= n; i++) {fibonacciArr[i % 3] = fibonacciArr[(i - 1) % 3] + fibonacciArr[(i - 2) % 3];if (i == n) return fibonacciArr[i % 3];}
};
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基操写法（递规）

根据公式f[i]=f[i-1]+f[i-2]，同时递归边界n==0||n==1，可以很容易地写出递归写法

const getFibonacci = (n) => {if(n==0||n==1)return 1;return getFibonacci(n - 1) + getFibonacci(n - 2);
};
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很明显，当n逐渐增大时，运算速度指数级递增（一般计算机在求解n=40时开始吃力），原因留在评论区由大家探讨

递归 + 记忆化搜索

递归写法最常见的问题就是重复搜索，所以可以使用记忆化搜索（将查到的结果存起来）进一步优化

let fibonacciData = { 0: 1, 1: 1 };
const getFibonacci = (n) => {if (fibonacciData[n]) return fibonacciData[n];return (fibonacciData[n] = getFibonacci(n - 1) + getFibonacci(n - 2));
};
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递归 + 滚动压缩

同理，可以通过滚动压缩对递归进行优化

const getFibonacci = (first, second, current, n) => {if(n<2)return 1;if (current == n) return first + second;return getFibonacci(first + second, first, current + 1, n);
};
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柯里化

可以使用柯里化的缓存特性将计算结果储存起来

// 缓存函数
const cached = (fn) => {const fibonacciData = {};return (n) => {if (!fibonacciData[n]) {fibonacciData[n] = fn(n);}return fibonacciData[n];};
};const getFibonacci = (n) => {if (n < 2) return 1;return cachedGetFibonacci(n - 1) + cachedGetFibonacci(n - 2);
};
var cachedGetFibonacci = cached(getFibonacci);console.log(cachedGetFibonacci(1000));
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取巧写法（通项公式）

可以使用通项公式（也叫比内公式）:

const getFibonacci = (n) => {n+=1;return ((1 / Math.sqrt(5)) * (Math.pow((1 + Math.sqrt(5)) / 2, n) - Math.pow((1 - Math.sqrt(5)) / 2, n))).toFixed(0);
};
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这种写法实际上不具有代码研究价值，但是公式的推导实际上具有很高的研究意义（比较难所以不在文中列举了），因为是最高效的写法，所以放到最后来说

总结

可以看出,调优的主要方向有两个大类：节省空间，节省时间；

实际开发过程需要我们去综合空间和时间的实际情况去取舍和调优。

本文是高阶函数/函数抽象的一个引子，本人将在后续进行javaScript进阶相关知识的持续更新。