从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的试验，被研究的随机现象的规律
性就能清楚地呈现出来． 但实际上，试验的次数只能是有限的，有时甚至是很少
的，因为采集某些数据时，常要将研究的对象破坏．例如，观测灯泡的寿命时，就一
定要把它用坏；检查炮弹性能时，就需要将它发射出去．有时即使不破坏对象，时
间、财力和人力也不允许．特别当信息具有很强的时效性时，旷日待久的大量检查
或试验，只能获得陈旧的、毫无意义的信息．因此，数理统计要研究的问题便是怎样
选择有效的抽样方法采集数据（抽样），并利用抽样获得的有限数据，对被研究的随
机现象的规律性作出尽可能精确而可靠的结论（推断).

        在数理统计中研究的基本问题有四个：参数估计、假设检验、方差分析和回归
分析为此，先引入几个基本概念.

1.1 总体与样本

        在数理统计中，通常把所研究对象的全体称为总体（或母体），而把组成总体的
每个元素称为个体．例如，某工厂生产的灯泡的寿命就是一个总体，而每个灯泡的
寿命则是一个个体．

        代表总体的指标（如灯泡寿命、钢筋强度等）的取值都有一定的随机性，因此，
它们都是随机变量．所以，总体就是某个随机变量可能取值的全体，常用X,Y,Z
(或)等表示．总体的概率分布就是该随机变量的概率分布．

        从总体X中抽取一个个体，就是对代表总体的随机变量X进行一次试验（观
测）． 从总体中随机地抽取n个个体：

         就是对随机变量X进行了一组试验．通常把由这n 个试验组成的试验组(1.1)称
为总体X的一个样本（或子样），样本中个体的数目n称为样本容量，其中称为
样本的第i个分量．

        由于每个都是从总体X中随机抽取的， 在抽取之前，它可能取得X所有可能取值中的任何一个， 可见这里的每个都是一个随机变量， 因此就是一个n维随机变量．在抽取之后，每一个的值已完全确定，它是一个数，是对的一次观测值，记作这时称

 为样本(1.1)的一个观测值，简称样本观测值．

         我们抽取样本的目的是为了对总体的分布进行分析和推断．因此要求抽样具有代表性，即应使总体的每个个体都有同等的机会被抽到，或每个样本分量都与总体X 有相同的概率分布．此外，还要求抽样必须是独立的， 即要求样本为相互独立的随机变量，或每个分量的观测结果不影响其他分量的观测结果，也不受其他观测结果的影响．这样抽取的样本称为简单随机样本．获得简单随机样本的方法称为简单随机抽样，今后，凡是提到样本和抽样，都是指简单随机样本和简单随机抽样．

1.2 统计量和样本矩

        样本来自总体，是总体的代表，是统计推断的依据．但是我们抽取样本之后，并不直接用样本进行推断，而常需要对样本进行一番加工和提炼，把样本中包含的我们所关心的信息集中起来，以便对总体的某种特性作出推断．

        例如，当我们取得总体X的一个样本时，常构造样本的平均值

         来推断总体的均值当然， 为了推断总体的其他特性，还要用到样本的其他函数．为此，我们引入下面的定义．

         定义1. 1. 1 设是来自总体X的一个样本，如果函数为的一个实值函数，且中不包含任何未知参数，那么称为一个统计量。

        由于构成统计量(1.3)的的实随机变量，所以，作为n维随机变量的函数，统计量也是随机变量．

        若为样本的一个观察值，则成

 为统计量(1. 3)的一个观测值．

        例1 设为来自正态总体的样本，则当已知，未知时，样本均值和

 都是统计量，而

 不是统计量（因为它包含未知参数).

         数理统计中，常用的统计量有

        它们分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本K阶原点矩和样本K阶中心矩． 当取为样本的观测值时，这些统计量的观测值分别为

’

         显然上述统计量之间有如下的关系：

        应用中还有一种常用的统计量称为次序统计量．设是取自总体X的样本,是相应的观测值，把它们由小到大排列并用表示，即

         取值为的变量都是的函数，记作

显然，都是统计量，称它们为次序统计量，其中的称为最小次序统计量，称为最大次序统计量，次序统计量满足关系

 它们的观测值为，由次序统计量构成的

 和

 分别称为样本中位数和样本极差．