876. 快速幂求逆元

文章目录

• 题目描述
• • 输入格式：
  • 输出格式：
  • 数据范围
  • 输入样例
  • 输出样例
• 方法：快速幂
• • 解题思路
  • 代码
  • 复杂度分析：

题目描述

给定 n 组 ai,pia_i,p_iai​,pi​，其中 pip_ipi​ 是质数，求 aia_iai​ 模 pip_ipi​ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。
注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。
乘法逆元的定义

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)a/b≡a×x(mod\ m)a/b≡a×x(mod m)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)b^{−1}(mod\ m)b−1(mod m)。b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2b^{m−2}bm−2 即为 b 的乘法逆元。

输入格式：

第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pia_i,p_iai​,pi​，数据保证 pip_ipi​ 是质数。

输出格式：

输出共 nnn 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 aia_iai​ 模 pip_ipi​ 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

• 1≤n≤1051≤n≤10^51≤n≤105
• 1≤ai,pi≤2×1091≤a_i,p_i≤2\times10^91≤ai​,pi​≤2×109

输入样例

3
4 3
8 5
6 3

输出样例

1
2
impossible

方法：快速幂

解题思路

代码

#include using namespace std;typedef long long LL;int n;LL qmi(int a, int k, int p) {LL res = 1;while(k) {if(k & 1)   res = (LL)res * a % p;k >>= 1;a = (LL)a * a % p; }return res;
}int main() {cin >> n;while(n--) {int a, p;cin >> a >> p;if(a % p == 0)  puts("impossible");else    cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;}return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n×log(p−2))O(n\times log(p-2))O(n×log(p−2))
• 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)