（邱维声）高等代数课程笔记：线性方程组解的情况及其判别准则
1.2 线性方程组解的情况及其判别准则
\quad 回顾一下，上一节 中，介绍了求解一般的 nnn 元线性方程组的矩阵消元法。其一般步骤为：
- 列出原线性方程组的增广矩阵；
- 通过不断地对增广矩阵作初等行变换，得到阶梯形矩阵（或进一步地得到简化行阶梯形矩阵）；
- 根据阶梯形矩阵，即可得知原方程组解的情况。
\quad 在 引言 一节中，我们已经初步分析过：一般 nnn 元线性方程组的解至少有 333 种情况：有唯一解；有无穷多解；无解。而上一节中的 例 1 明显是属于 “有唯一解” 的情形。
\quad 下面，再分析两个例题。
例 2：在有理数集内求解线性方程组：
{x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=3\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1 \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} &= 3 \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} &=3 \end{aligned} \end{cases} ⎩⎨⎧x1−x2+x3x1−x2−x32x1−2x2−x3=1=3=3
解：使用上一节的矩阵消元法进行求解：
(1−1111−1−132−2−13)→②+①×(−1)③+①×(−2)(1−11109−2200−13)→②×12③+②×3(1−11100−11000−2)\left(\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 3 \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned} ② + ① \times (-1) \\ ③ + ① \times (-2) \end{aligned}} \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 9 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned}② \times \frac{1}{2} \\ ③ + ② \times 3 \end{aligned}} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right) 112−1−1−21−1−1133②+①×(−1)③+①×(−2)100−1901−2−1123②×21③+②×3100−1001−1011−2
(1−11100−11000−2)⟷{x1−x2+x3=1x3=−10=2\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right) \longleftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1\\ x_{3} &= -1\\ 0 &= 2 \end{aligned} \end{cases} 100−1001−1011−2⟷⎩⎨⎧x1−x2+x3x30=1=−1=2
\quad 显然，矛盾无解，从而原线性方程组无解！
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例 3：在有理数集内求解线性方程组：
{x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=5\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1 \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} &=3 \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} &= 5 \end{aligned} \end{cases} ⎩⎨⎧x1−x2+x3x1−x2−x32x1−2x2−x3=1=3=5
解：
\quad 使用矩阵消元法进行求解：
(1−1111−1−132−2−15)→②+①×(−1)③+①×(−2)(1−11100−2200−33)→②×12③+②×1(1−11100−110000)\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 5 \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned} ② + ① \times (-1) \\ ③ + ① \times (-2) \end{aligned}} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \end{matrix}\right) \xrightarrow{\begin{aligned} ② \times \frac{1}{2} \\ ③ + ② \times 1 \end{aligned}} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) 112−1−1−21−1−1135②+①×(−1)③+①×(−2)100−1001−2−3123②×21③+②×1100−1001−10110
(1−11100−110000)⟷{x1−x2+x3=1−x3=1\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \longleftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1 \\ {-x_{3}} &= 1 \end{aligned} \end{cases} 100−1001−10110⟷{x1−x2+x3−x3=1=1
\quad 显然，阶梯形方程组有无穷多解，因此原线性方程组有无穷多解。
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\quad 可以看到，例 1 有唯一解，例 2 无解，例 3 有无穷多解。
\quad 现在，来大胆地猜测一下：
- 在有理数集（甚至是实数集、复数集）内，nnn 元线性方程组的解的情况 有且只有 333 种情况：有唯一解；无解；有无穷多解。
\quad 分析下这个猜测，有解的情形从“有唯一解”到 “有无穷多解”，跨度是不是太大了？为什么不做“仅有二解”，“仅有三解”等猜测呢？猜测的依据是什么呢？
\quad 回顾在 引言 一节中的分析，我们从直线间的关系（重合、平行、相交）中受到启发，作出如上猜测。
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利用矩阵的初等行变换，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形，得到对应的线性方程组。若出现 “0=d(d≠0)0 = d ~( d \ne 0)0=d (d=0)” 的情况，则原方程组无解。否则，原方程组有解。
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线性方程组有解时，若阶梯形矩阵的非零行数目与未知量数目相等，即 r=nr = nr=n，则原方程组有唯一解；若 r
\quad 下面，将逐一证实上述猜想。
\quad 严格来说，下面的
定理 1需要先证明一个命题：任何矩阵都可以经过初等行变换化为阶梯形矩阵以及简化行阶梯形矩阵。
定理 1：在有理数集（或实数集、复数集）内，nnn 元线性方程组的解有且仅有以下 333 种情况：无解，有唯一解，有无穷多解。
证明：
\quad 一般地，设由 sss 个方程构成的 nnn 元线性方程组的增广矩阵为 AAA，并且经过初等行变换，化为阶梯形矩阵 JJJ。设 JJJ 有 rrr 个非零行。显然 r≤sr \le sr≤s，JJJ 有 n+1n+1n+1 列。
\quad 情形 1： JJJ 对应的阶梯形方程组出现 “0=d0 = d0=d” （d≠0d \ne 0d=0）的情况。显然，此时原方程组无解。
\quad 情形 2：JJJ 对应的阶梯形方程组不出现 “0=d0 = d0=d” （d≠0d \ne 0d=0）的情况。此时，设 JJJ 的第 rrr 个主元（即第 rrr 行的第一个非零元）为 brtb_{rt}brt，显然 brtb_{rt}brt 不会处于 JJJ 的第 n+1n+1n+1 列，因此 t≤nt \le nt≤n. 又因为阶梯形矩阵的列指标随着行指标的增加而严格增加，因此 r≤t≤nr \le t \le nr≤t≤n.
\quad 情形 2.1：若 r=nr = nr=n，利用初等行变换，将 JJJ 化为简化行阶梯形矩阵 J′J'J′，则 J′J'J′ 有下形式：
(10⋯0c101⋯0c2⋮⋮⋮⋮00⋯1cn)\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1} \\ 0 & 1 &\cdots & 0 & c_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{n} \end{matrix}\right) 10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1c1c2⋮cn
显然，此时 (c1,c2,⋯，cn)(c_{1},c_{2},\cdots，c_{n})(c1,c2,⋯，cn) 即为原线性方程组的唯一解。
\quad 情形 2.2：若 r (1⋯0⋯00⋯c10⋯1⋯00⋯c2⋮⋮⋮⋮⋮0⋯0⋯10⋯cn⋮⋮⋮⋮⋮)\left(\begin{matrix} 1 &\cdots & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots &c_{1} \\ 0 &\cdots & 1 & \cdots &0 & 0 & \cdots & c_{2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & c_{n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \end{matrix}\right) 10⋮0⋮⋯⋯⋯01⋮0⋮⋯⋯⋯00⋮1⋮00⋮0⋮⋯⋯⋯c1c2⋮cn⋮ \quad 此时，J′′J''J′′ 对应的线性方程组有 rrr 个 主变量 x1,xj2,⋯,xjrx_{1},x_{j_{2}},\cdots,x_{j_{r}}x1,xj2,⋯,xjr，n−rn-rn−r 个 自由未知量 xi1,xi2,⋯,xin−rx_{i_{1}},x_{i_{2}},\cdots,x_{i_{n-r}}xi1,xi2,⋯,xin−r. 将 J′′J''J′′ 对应的阶梯形方程组中含有自由未知量的项移至等式右端，并忽略掉所有“0=00=00=0” 的方程，可得以下方程组（显然与原方程组同解）。 {x1=b11xi1+b12xi2+⋯+b1,n−rxin−rxj1=b21xi1+b22xi2+⋯+b2,n−rxin−r⋯⋯xjr=br1xi1+br2xi2+⋯+br,n−rxin−r\begin{cases} x_{1} &= b_{11}x_{i_{1}} + b_{12} x_{i_2} + \cdots + b_{1,n-r}x_{i_{n-r}} \\ x_{j_{1}} &= b_{21} x_{i_{1}} + b_{22} x_{i_{2}} + \cdots + b_{2,n-r} x_{i_{n-r}} \\ &\cdots ~ \cdots\\ x_{j_{r}} &= b_{r1} x_{i_{1}} + b_{r2} x_{i_{2}} + \cdots + b_{r,n-r} x_{i_{n-r}} \end{cases} ⎩⎨⎧x1xj1xjr=b11xi1+b12xi2+⋯+b1,n−rxin−r=b21xi1+b22xi2+⋯+b2,n−rxin−r⋯ ⋯=br1xi1+br2xi2+⋯+br,n−rxin−r \quad 显然，此时原方程组有无穷多解。 # \quad 想一下，如果线性方程组的所有常数项都为 000，会有怎样的性质？ n 元齐次线性方程组：若 nnn 元线性方程组的所有常数项均为零，则称该方程组为 n 元齐次线性方程组。 {a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋯as1x1+as2x2+⋯+asnxn=0.\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = 0 \\ \cdots \\ a_{s1} x_{1} + a_{s2} x_{2} + \cdots + a_{sn} x_{n} = 0. \end{cases} ⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋯as1x1+as2x2+⋯+asnxn=0. \quad 显然，当 x1,x2,⋯,xnx_{1},x_{2},\cdots,x_{n}x1,x2,⋯,xn 均为零时，方程组成立，这是一件平凡的事。换言之，nnn 元齐次线性方程组必定有解。进一步地思考一下，什么时候有非零解？ \quad 由 推论 1：nnn 元齐次线性方程组有非零解 当且仅当 r 推论 2：若 s 参考： [1] 邱维声. 高等代数课程.
定理 1 很容易得到以下推论。