诱导公式

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单位圆坐标和三角函数

例如,sin(θ+π)=−sin(θ);这里ϕ(θ)=π+θsin(\theta+\pi)=- sin(\theta);这里\phi(\theta)=\pi+\thetasin(θ+π)=−sin(θ);这里ϕ(θ)=π+θ
途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(ϕ(θ)),sin(ϕ(θ)))途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(\phi(\theta)),sin(\phi(\theta)))途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(ϕ(θ)),sin(ϕ(θ)))
途中设定了两个超级点(主超级点为A(cosθ,sinθ),副超级点B(sinθ,cosθ)A(cos\theta,sin\theta),副超级点B(sin\theta,cos\theta)A(cosθ,sinθ),副超级点B(sinθ,cosθ)
- 所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者θ=π2)对称所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者\theta=\frac{\pi}{2})对称所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者θ=2π)对称
- 比如ϕ(θ)=θ−π2;则sin(ϕ(θ))=−cosθ;cos(ϕ(θ))=sinθ\phi(\theta)=\theta-\frac{\pi}{2};则sin(\phi(\theta))=-cos\theta;cos(\phi(\theta))=sin\thetaϕ(θ)=θ−2π;则sin(ϕ(θ))=−cosθ;cos(ϕ(θ))=sinθ

记忆口诀

对于kπ2±α(k∈Z)k\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\in \mathbb{Z})k2π±α(k∈Z)的三角函数值，

符号看象限

口诀总是把α\alphaα看作锐角，2π−α∈(270°，360°),弧度角2π−α终边落在第4象限，sin(2π−α)<02π-α∈(270°，360°),弧度角2\pi-\alpha终边落在第4象限，sin(2π-α)<02π−α∈(270°，360°),弧度角2π−α终边落在第4象限，sin(2π−α)<0，符号为“-”

奇变偶不变

当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即
- sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号
对于tan⁡,sec⁡,csc⁡,cot⁡\tan,\sec,\csc,\cottan,sec,csc,cot可以转化为cos⁡,sin⁡\cos,\sincos,sin处理

例

sin(2π−α)=sin(4⋅π2−α)sin(2π-α)=sin(4·\frac{\pi}{2}-α)sin(2π−α)=sin(4⋅2π−α)，k=4为偶数，所以函数名(绝对值部分)是sin⁡α\sin\alphasinα。
所以sin(2π−α)=−sinαsin(2π-α)=-sinαsin(2π−α)=−sinα

常用诱导公式🎈

常用部分(5对)

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin{\alpha}sin(−α)=−sinα
cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos{\alpha}cos(−α)=cosα
sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos{\alpha}sin(2π−α)=cosα
cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin{\alpha}cos(2π−α)=sinα
sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos{\alpha}sin(2π+α)=cosα
cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin{\alpha}cos(2π+α)=−sinα
sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}sin(π−α)=sinα
cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}cos(π−α)=−cosα
sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin{\alpha}sin(π+α)=−sinα
cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{\alpha}cos(π+α)=−cosα
总之,第一象限全是正的,第三象限全是负的

倒数关系

正弦(sine)×余割(co−secant)=1正割(secant)×余弦(co−sine)=1正切(tangent)×余切(co−tangent)=1正弦(sine)\times余割(co-secant)=1 \\正割(secant)\times余弦(co-sine)=1 \\ 正切(tangent)\times余切(co-tangent)=1 正弦(sine)×余割(co−secant)=1正割(secant)×余弦(co−sine)=1正切(tangent)×余切(co−tangent)=1

tan·gent	co·tan·gent	se·cant	co·se·cant
/ˈtanjənt/	/kōˈtanjənt/	/ˈsēˌkant,ˈsēˌkənt/	/kōˈsēkənt/
正切	余切	正割	余割

六种三角函数间的转换关系

正弦余弦&正割余割&正切余切间的转换(π2\frac{\pi}{2}2π)

小结

π2−α\frac{\pi}{2}-\alpha2π−α:关于y=xy=xy=x对称
关于y=xy=xy=x对称的两点P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)P_1=(x_1,y_1),P2=(x_2,y_2)P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)坐标关系:
- x1=y2x_1=y_2x1=y2
- x2=y1x_2=y_1x2=y1