位运算 

 lowbit(x)，返回x的最后一位1，起始就是x&-x=x&(~x+1)

习题:求二进制中1的个数

#include
#include 
#include
using namespace std;
int lowbit(int x)
{return x & -x;
}
int main()
{int n;cin >> n;int x;while (n--){int res = 0;cin >> x;while (x)//x若为0则说明没有1了，每次减去一个1，直到减把1减光为止{x = x - lowbit(x);//每次减去一个1，直到减把1减光为止res++;//res统计一个个数}cout << res<< ' ';}return 0;
}

 也可这样计算

int main()
{int n;cin >> n;int x;while (n--){int res = 0;cin >> x;for (int i = 0; i < 32; ++i){if ((x >> i) & 1 == 1)res++;}cout << res << ' ';}return 0;
}

离散化 

 unique函数本质是将重复的元素移动到数组的末尾，最后再将迭代器指向第一个重复元素的下标。

离散化：一般是在一个的数组中，输入x（下标），将该值映射到从1开始对应的数组

如这里要给上面数组下标为2的值离散化，离散化之后对应的下标为3

思路：先用sort函数排序，然后用unique去重，再删除重复元素，用二分查找找下标，找到返回即可 

一开始数字全是0，下标为1的数+2，为3的数+6，为7的数+5，计算0-3的和，4-6的和 。7-8的和

思路：把所有加了 值的数，映射到从一开始的数组即可

有n行，所以是10的5次方个数，对于m行要输入俩个整数lr，这里又是2x10的5次方，所以总共是3x10的5次方，总共有2x10的9次方个数，但是我们只用到了3x10的5次方个数

#include
#include
#includetypedef pair PII;
const int N = 300010;
int n, m;//都代表行数n是x+c的行数,m是区间函数l,r
int a[N], s[N];//a数组用来存离散后的数x对应数字+c后的值，但这个数组是从1开始与x相对应的，若之前x是0，在这个数组中就为1，s是前缀和
vector alls;//存所有要离散化的值(这个数组里存的是下标)
vector add,query;//add是给x+c对应x,c的键值，query存放要离散化的左右区间
using namespace std;
int find(int x)
{int l = 0, r = alls.size()-1;while (l < r){int mid = (l + r) / 2;if (alls[mid] >= x){r = mid;}elsel = mid + 1;}return r+1;//由于映射的是从1开始映射,所以给r+1。
}
int main(){cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i){int x, c;cin >> x >> c;add.push_back({ x,c });alls.push_back(x);}for (int i = 0; i < m; ++i){int l, r;cin >> l >> r;query.push_back({l,r});//l,r是下标alls.push_back(l);//由于l，r是下标，所以也要离散化成对应的数字alls.push_back(r);}//给alls数组去重sort(alls.begin(), alls.end());alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()));//删除重复元素//处理插入:x下标对应数字+c后具体的值for (auto item : add)//add中存的是x,c对应的键值{int x = find(item.first);//先找到离散化之后的值a[x] += item.second;//a是从下标1开始对应x}//预处理前缀和for (int i = 1; i <= alls.size(); ++i){s[i] = s[i - 1] + a[i];}//处理询问for (auto item : query){int l = find(item.first);//将l离散化后找到具体对应的数值int r = find(item.second);cout << s[r] - s[l - 1] << endl;//计算区间和}return 0;
}

序列合并

如果俩段区间有交集，就将这俩段区间合并 

绿色为合并后的区间

 思路：按区间左端点排序（每个区间都有自己的左端点，根据左端点的大小进行排序），扫描整个区间，扫描过程当中把有交集的区间进行合并。

不会出现红色这种情况，因为我们对左端点按照从小到大的顺序进行了排列

当第一个区间合并完之后，开始进行合并下一个区间更新start和end的位置 

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
typedef pair PII;
vector segs;//存所有的区间
void merge(vector& segs)
{vector res;//存放合并后的区间sort(segs.begin(), segs.end());//先把所有区间排序,pair排序优先以左端点排序，再以又端点排序int st = -2e9, ed = -2e9;//刚开始区间的大小,2*10的-9次方for (auto seg : segs)//从前往后扫描所有的区间{if (seg.first > ed)//如果这个区间左边的数大于上一个区间的最后一个数字，说明没有交集{if (st != -2e9)//这个区间如果不是最开始的初始区间就放入res中{res.push_back({ st,ed });}st = seg.first, ed = seg.second;//更新st和ed，让st和ed跟下一个区间进行比较}else//此时有了交集,把右端点更新成最长的哪个{ed = max(seg.second, ed);}}if (st != -2e9)//防止输入一个空区间{res.push_back({ st, ed });//如果不是空区间，就把最后一个区间放进去}segs = res;
}
int main()
{int n;cin >> n;for (int i = 0; i < n; ++i){int l, r;cin >> l >> r;segs.push_back({ l,r });}merge(segs);//进行区间合并cout << segs.size() << endl;return 0;
}