原理说明

LVQ（Learning Vector Quantization）算法是一种基于向量量化的有监督学习算法，它可以用于分类和回归任务。LVQ算法主要是通过对数据进行聚类来实现分类，其核心思想是通过逐步调整聚类中心，使得不同类别之间的距离变大，同一类别之间的距离变小。

LVQ算法的步骤如下：

初始化聚类中心。随机选择K个样本作为聚类中心，其中K是类别的个数。

计算每个样本与聚类中心之间的距离。LVQ算法通常采用欧式距离或曼哈顿距离等距离度量方法，根据距离将每个样本分配到最近的聚类中心中。

根据样本的真实类别，调整聚类中心的位置。对于每个被分配到聚类中心 wjw_jwj​ 的样本 xix_ixi​，如果它的类别和聚类中心的类别相同，则将聚类中心 wjw_jwj​ 向该样本的方向调整一定的距离 α\alphaα，即 wj′=wj+α(xi−wj)w_j^{'}=w_j + \alpha(x_i-w_j)wj′​=wj​+α(xi​−wj​)；如果它的类别和聚类中心的类别不同，则将聚类中心 wjw_jwj​ 向该样本的反方向调整一定的距离 β\betaβ，即 wj′=wj−β(xi−wj)w_j^{'}=w_j - \beta(x_i-w_j)wj′​=wj​−β(xi​−wj​)。

重复步骤2和3，直到聚类中心不再发生变化或达到最大迭代次数为止。

对于新的测试样本，将其分配到距离最近的聚类中心所对应的类别中。

LVQ算法的核心思想是通过逐步调整聚类中心，使得不同类别之间的距离变大，同一类别之间的距离变小，从而实现分类任务。LVQ算法具有较好的可解释性和可扩展性，但需要注意的是，它对初始聚类中心的选择比较敏感，需要根据实际情况进行调整，以获得更好的分类性能。

公式推导

LVQ（Learning Vector Quantization）算法的核心是通过逐步调整聚类中心，来使不同类别之间的距离变大，同一类别之间的距离变小。LVQ算法的公式推导如下：

初始化聚类中心。假设有K个类别，则聚类中心可以表示为 wj,j=1,2,⋯,Kw_j, j=1,2,\cdots,Kwj​,j=1,2,⋯,K。

对于每个样本 xix_ixi​，计算它与每个聚类中心之间的距离 dijd_{ij}dij​。常用的距离度量方法有欧式距离和曼哈顿距离等。距离计算公式如下：

dij=∣∣xi−wj∣∣d_{ij} = ||x_i - w_j||dij​=∣∣xi​−wj​∣∣

其中，∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣表示向量的范数。

根据距离将每个样本分配到最近的聚类中心中。假设样本 xix_ixi​ 被分配到聚类中心 wjw_jwj​ 中，则 wjw_jwj​ 被更新为：
wj′=wj+{α(xi−wj)yi=j−β(xi−wj)yi≠jw_j^{'} = w_j + \begin{cases} \alpha(x_i - w_j) & y_i = j \ -\beta(x_i - w_j) & y_i \neq j \end{cases}wj′​=wj​+{α(xi​−wj​)​yi​=j −β(xi​−wj​)​yi​=j​

其中，α\alphaα 和 β\betaβ 分别是调整距离的学习率，yiy_iyi​ 是样本 xix_ixi​ 的真实类别，jjj 表示样本 xix_ixi​ 被分配到的聚类中心的下标。

重复步骤2和3，直到聚类中心不再发生变化或达到最大迭代次数为止。

对于新的测试样本 xxx，计算它与每个聚类中心之间的距离 djd_jdj​，将其分配到距离最近的聚类中心 wjw_jwj​ 所对应的类别中。

LVQ算法的核心公式是第三步的公式，其中根据样本的类别分别调整聚类中心的位置。如果样本 xix_ixi​ 的类别和聚类中心 wjw_jwj​ 的类别相同，则将聚类中心向该样本的方向调整一定的距离 α\alphaα，否则将聚类中心向该样本的反方向调整一定的距离 β\betaβ。这样，经过多次迭代后，不同类别之间的距离将逐步变大，同一类别之间的距离将逐步变小，从而实现分类任务。