原理说明

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）是一种经典的模式识别方法，它通过将数据投影到一个低维空间来实现分类。该算法假设每个类别的数据都服从多元正态分布，并且各个类别的协方差矩阵相同。LDA算法的主要目标是将不同类别之间的距离最大化，同时将同一类别内部的距离最小化。

基本思想
LDA算法的基本思想是将多维数据投影到一个低维空间，使得不同类别之间的距离尽可能大，同一类别内部的距离尽可能小。假设有n个样本，每个样本有m个特征。LDA算法的主要步骤如下：

对每个类别，计算其均值向量。将所有类别的均值向量合并为一个矩阵M，其中每行对应一个均值向量。

对每个类别，计算其协方差矩阵Si。

计算总的类别内散度矩阵Sw，表示所有类别内部数据的离散程度。

计算总的类别间散度矩阵Sb，表示不同类别之间的距离。

对矩阵Sw求逆，然后计算矩阵Sw^-1Sb的特征向量和特征值。

对特征值从大到小排序，选择前k个特征向量作为投影方向。

将数据投影到选定的投影方向上，得到新的低维特征表示。

利用投影后的特征表示进行分类。

数学表述

假设有k个类别，每个类别有nk个样本。每个样本有m个特征，表示为x=(x1, x2, …, xm)。类别标签用y表示，y∈{1,2,…,k}。LDA算法的主要目标是最大化以下函数：

J(w) = (w^TSbTw)/(w^T Sw^w)

其中w是一个m维列向量，表示投影方向。Sb和Sw分别表示类别间散度矩阵和类别内散度矩阵，定义如下：

Sb = Σk(nk*(mk-m)(mk-m)^T)

Sw = ΣkΣi(xi-mk)(xi-mk)^T

其中mk是第k个类别的均值向量，xi是第k个类别中的第i个样本。J(w)的值越大，说明投影后的类别间距离越大，同一类别内部距离越小。因此，LDA算法的目标是求解J(w)的最大值对应的投影方向w。利用拉格朗日乘数法，将J(w)的约束条件w^T Sw^w = 1加入到目标函数中，得到如下优化问题：

max(w) J(w) = (w^T Sb^Tw)/(wT Sw^w)

subject to: w^T Sw^w = 1

对上述优化问题求解，可以得到特征值问题：

Sw^-1 Sb w = λw

其中λ是特征值，w是特征向量。解出特征向量后，将其按照特征值大小从大到小排序，选择前k个特征向量作为投影方向，将原始数据投影到这些方向上，得到新的低维特征表示。

LDA和PCA的比较
LDA和主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）都是常用的降维方法，它们的区别在于降维的目标不同。PCA旨在最大化数据的方差，而LDA旨在最大化类别间距离，同时最小化类别内距离。因此，LDA更适合于分类问题，而PCA更适合于数据可视化等非监督学习任务。

此外，LDA的投影方向是根据类别信息得到的，因此它需要有类别标签的数据才能训练。而PCA只需要原始数据，不需要类别标签。在没有类别标签的情况下，PCA是更为常用的降维方法。

公式推导

设样本集合D={(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)}，其中xi∈R^d为第i个样本的特征向量，yi∈{0, 1}为第i个样本的类别标签，0表示负样本，1表示正样本。假设正样本数为m1，负样本数为m0，总样本数为m=m0+m1。

计算均值向量
分别计算正样本集合D1和负样本集合D0的均值向量：

μ1 = (1/m1) ∑xi，yi=1
μ0 = (1/m0) ∑xi，yi=0

计算类内散度矩阵
计算正样本集合D1和负样本集合D0的类内散度矩阵Si：

Si = ∑(xi - μi)(xi - μi)^T，yi = i

计算总类内散度矩阵
计算总类内散度矩阵Sw：

Sw = S0 + S1

其中，S0和S1分别为负样本集合D0和正样本集合D1的类内散度矩阵。

计算类间散度矩阵
计算类间散度矩阵Sb：

Sb = (μ1 - μ0)(μ1 - μ0)^T

求解投影方向
目标是求解J(w)的最大值对应的投影方向w。利用拉格朗日乘数法，将J(w)的约束条件w^T Sw^w = 1加入到目标函数中，得到如下优化问题：

max(w) J(w) = (w^T Sb^Tw)/(wT Sw^w)

subject to: w^T Sw^w = 1

对上述优化问题求解，可以得到特征值问题：

Sw^-1 Sb w = λw

其中λ是特征值，w是特征向量。

选择投影方向
将特征向量按照对应的特征值大小从大到小排序，选择前k个特征向量作为投影方向，将原始数据投影到这些方向上，得到新的低维特征表示。

这样，我们就完成了线性判别分析算法的公式推导。