引入：

有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量:例如，掷骰子朝上一面的点致，一唇夜 110 接到的呼叫次数等均为离散型随机变量.

2.2.1 离散型随机变量的分布律

定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为 X1，X2则Xi取龙，的概率P{X=2.1=力，i=1.2…称为子的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数.X的分布律也可用如下方式表示X元1I 2P.bp2Pi

显然分布律具有如下性质：

*1）非负性：p，≥0,i=1,2

（2归一性：三力。

上述两条既是分布律具有的性质，同时也是判别某个数列能否成为某个离散型

随机变量的分布律的充要条件．根据分布函数的定义，易知离散型随机变量 区的分布两数为FCO=PX

【例2.5】 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以概

率力禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数(设各组信

号灯的工作是相互独立的）,求区的分布律.

解因为每一组信号灯禁止汽车通过的概率为力，允许汽车通过的概率为

1一力,所以区的分布律为

【例2.6】 设离散型随机变量 又的分布律为孓3P;1/41/21/4试求 尸（×≤0.5).P（1.5

解

P{x≤0.5>=P1×==1=1/4,

P{1.5

了的分布两数为

F(x)[0,<-1,1/4,-1

1/4 +1/2, 2<2 <3,

z≥3

F(z)的图形呈阶梯形右连续，如图2.1所示,在X的

可能取值一1,2,3处有跳跃点,其跃度分别为 1/4,1/2,1/4.2

图2.1X的分布两数

2.2.2 常用离散分布

1.0-1分布

定义 2.4 如果随机变量叉只可能取0 与1两个值，它的分布律是

X（1一力1一力，k=0,1，0＜力＜1则称 叉 服从参数为力的0-1分布或两点分布：0-1分布的分布律也可写成力：力对对于一个随机试验，如果它的样本空间2 只包含的个样不点a1，02,我们总能在2上定义一个服从 0-1分布的随机变量0,E019X = X (00) =W= 02

来描述这个随机试验的结果

2.二项分布

在前面介绍的 ， 重伯努利试验中我们已经知道，若事件A 在每次试验中发生的

概率为P（④)一力（0二力＜1）,则n 次试验中事件 A 发生k 次的概率为

P=C.D*(1一力)0-k，

k=0.1.•.

定义2.5 如果随机变量叉 的分布律是

p(X=k)=C0C1一力）n-

则称x服从二项分布，记为X～B（n.D5

k=0,l,-,n

拉热，B(1，p)就是0-1 分布，实际上二项分布是n 重伯务利试验的概率模型，

二项分布是一种常用的离散分布.例如，在一大批产品中随机抽查 10个产品,10

个产品中不合格品的个数x 服从二项分布B（10•0），其中力为不合格品率，又如，

在某地区随机调查 50个人，50个人中惠色盲的人数了服从二项分布 B(50.力），其中

力为色盲率

【例 2.7】

一大批零件,其次品率为 0.05,现从中任意连续抽取 5个,求其中至少

有一个是次品的概率

解将抽取一个零件观察它是否为次品作为一次试验，任意连绫抽取5个可以

看成是连线进行了 5次试验，本题是不放回抽样，因而各次试验并不独立,这不是5

重伯努利试验,但由于零件总数很多，而只需抽出 5个,故可近似地作为放回抽样來

处理,这种抽取过程可近似看成是 5 重伯努利试验.

以X记抽出的5个零件中次品的个数,则x～B(5,0.05），所以所求的概率为

P×≥1=1=P×=0=1=C0.05°（1=0.05）5-0=0.226.

【例2.8】 设x~B（2,p，Y~B（3,力），若P{X≥1>=5/9,试求P￥≥1>.

解由P{x≥11=5/9,知P{x三0>一4/9,所以（1一力）?=4/9,由此得力=1/3.

再由Y~B(3，力）,可得P{Y≥11=1-P（￥=0)=1=（1=1/③）3=19/27.

3.泊松分布

泊松分布是概率论中又一种重要的离散分布，它在理论和实践中都有广泛的

应用.

x'

定义2.6 如果随机变量区的分布律为P(X=R)=

KreA二0为参数，k=0.

1,2,••，则称 叉服从参数为入的泊松分布,记为x~PO

【例 2.9】某种铸件的砂眼(缺陷）数服从参数为入一0.5的泊松分布，试求该铸

件至多有一个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品）的概率.

解以X表示铸件的砂眼数,由题意知X~P(0.5）,则该种铸件上至多有1个

砂眼的概率为

Px≤1

0.50

0!

e-2.540.5!

-e 0.5 = 0.91,

1!

至少有2个砂眼的概率为

P{x≥2¥=1

-Px≤1=0.09.

在二项分布 B(n,力）的概率计算中,往往计算量很大,利用下面的泊松定理近似

计算，可以大大減少计算量.下面不加证明地给出泊松定理

定理 2.1（泊松定理〉 设入二0 是一个常数，n 是任意正整数，设10=15力与力

有关）,则对于任一固定的非负整数R，有

4 lim Cs p1（1 -力)0-k

k！

定理的条件2p一入(常数)意味着当n很大时力必定很小,因此,当几很大力很小

时，有下面近似计算公式

Cip' (1 - p) "-* :

-e”， k=0,1,2,•

k!

该公式说明，在对二项分布 B（n ，力)计算概率时，如果n很大力很小，可以由参

数为入一几力的泊松分布的概空值近似.下面给出一个利用泊松分布作近似计算的

例子

【例,2.10】 已知某种非传染疾病的发病率为0.001,某单位共有5000人,问该单

位患有这种疾病的人数不超过5人的概率为多少？

解

率为

设该单位患有这种疾病的人数为叉，则有叉~B(5000,0.001），则所求概

Px<5= 2 Ctooo 0.00140.999 30pe-l

取入一功一5,用泊松分布近似计算并查附录一中附表 1得

P8≤5<>5%

k!

€=5

=0.616.

在应用中，诸如服务系统中寻求服务的呼叫次数，产品的缺陷(如布匹上的疵点

玻璃内的气泡等)数，

-定时期内出现的稀有事件《如意外事故、自然灾害等)个数,放

射性物质发射出的离子数等,这些例子都是刀大力 小的二项分布，所以常用泊松分

布为其概率模型进行研究 以服务系统中的呼叫次数为例，服务设施的用户数n很

大,每个用户在指定时问内使用这 个设施的概率 ， 很小，而且各用户使用情况又独

立.因此，服务系统中的呼叫次数应是八 大p 小的二项分布，由泊松定理，可以近似次

为服从入一n0 的泊松分布。上述应用表明，泊松分布广泛用于社会生活的许至方面，

它在运筹学、管理科学中占有突出的地位