什么是动态规划？

动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学方法。它是将原问题划分成若干个子问题，通过将子问题的最优解组合而得到原问题的最优解。

动态规划通常用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，其中重叠子问题指的是在解决问题的过程中，需要反复计算的子问题，而最优子结构则是指问题的最优解可以由其子问题的最优解组合而成。

1. 动态规划问题通常可以分为以下几个步骤：

2. 确定问题的状态：将问题划分成若干个子问题，然后确定每个子问题的状态。

3. 确定状态转移方程：找到子问题之间的关系，然后利用这些关系来建立状态转移方程。

4. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即初始状态和终止状态。

5. 解决问题：根据状态转移方程和边界条件，求解问题的最优解。

例如，一个典型的动态规划问题是背包问题，假设有nnn个物品和一个容量为WWW的背包，第iii个物品的重量为wiw_iwi​，价值为viv_ivi​。问如何选取物品放入背包中，才能使这些物品的总价值最大。

对于这个问题，可以将其划分为若干个子问题，即：当背包容量为WWW，前iii个物品时，可以得到的最大价值为dp[i][W]dp[i][W]dp[i][W]，其中dp[i][W]dp[i][W]dp[i][W]表示的是在选取前iii个物品，并且不超过容量为WWW的背包时的最大价值。然后，可以通过这些子问题之间的关系，建立状态转移方程：dp[i][W]=max⁡(dp[i−1][W],dp[i−1][W−wi]+vi)dp[i][W] = \max(dp[i-1][W], dp[i-1][W-w_i]+v_i)dp[i][W]=max(dp[i−1][W],dp[i−1][W−wi​]+vi​)。最后，再确定边界条件：dp[0][W]=0dp[0][W]=0dp[0][W]=0和dp[i][0]=0dp[i][0]=0dp[i][0]=0，即在没有物品可选或背包容量为0时，最大价值为0。

动态规划问题的时间复杂度通常是子问题个数乘以解决每个子问题的时间复杂度，即O(n2)O(n^2)O(n2)或O(n3)O(n^3)O(n3)，但是通过优化状态转移方程，有时可以将时间复杂度降为O(n)O(n)O(n)或O(log⁡n)O(\log n)O(logn)。

作为一个动态规划的新手，该如何锻炼自己的动态规划能力呢？

作为动态规划的新手，建议从以下几个方面开始练习动态规划问题：

• 了解动态规划问题的基本思路和应用场景，掌握常见的动态规划问题类型和解决方法。

• 选择一些比较简单的动态规划问题进行练习，例如斐波那契数列、最长递增子序列、背包问题等，熟悉问题的状态转移方程和边界条件，掌握常见的解题技巧和优化方法。

• 学习一些常用的算法模板和工具，例如记忆化搜索、二维动态规划、滚动数组、优化空间复杂度等，以加强自己的动态规划能力。

• 练习一些动态规划问题的变体，例如区间动态规划、状态压缩动态规划、树形动态规划等，以提高自己的解题能力和思维水平。

• 刷一些经典的动态规划题目，例如LeetCode上的题目，可以根据难度进行分类，从简单到困难逐步练习，注意理解题目的意思、分析问题的性质和特点，并且独立思考和解决问题。

• 在练习动态规划问题时，可以使用一些工具和资源，例如算法模板、在线评测平台、书籍和教程等，以便更好地理解和掌握动态规划问题的思路和方法。同时，还要注意总结和归纳练习过程中的经验和技巧，积累解决问题的方法和思维方式，以提高自己的动态规划能力。