(必经点)局部优化达到全局最优的最短路径算法探讨_资讯

(必经点)局部优化达到全局最优的最短路径算法探讨

创始人

2024-02-05 23:58:41

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首先，存在无序的点集 $D=\left \{ p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n} \right \},n\epsilon \mathbb{N}^{+}$ .

记 $D[0]=p_{1},D[1]=p_{2},...,D[n-1]=p_{n}$ .

再记初始路径为 C=s{D[0],D[1],D[2],...,D[n]}e .

于是，我们称以下为一次变换：

if |C[i]-C[i+1]|+|C[i+2]-C[i+3]| > |C[i]-C[i+2]|+|C[i+1]-C[i+3]|
{swap(C[i+1],C[i+2]);
}

需要注意的是 C[0]=s,C[C.size-1]=e .

最直观的就是如下的变换：

我们对C上的每一点，依次进行如上的变换，不断的循环，直至不再需要变换，此时的路径C就是最短路径。因为每次变换后，C上的点只是两个点之间交换了顺序，而其他的点不变，同时，变换后的路径，又能保证比变换前的短，所以我们可以断定此种方法是收敛的。而且最终会达到极小值，而此时，再对C上的每一次做T，都不会进入到上述的if里面。

现在，我们来初步的看看此种方式的最大复杂度。

我们将初始路径作个变形：

若我们从到,依次作变换。最开始，若每次都会 swap 一次，则在链上，每次变换后， $p_{1}$ 都会顺时针移动一位。我们称 C.size-3 次为一次循环。每次循环后，必定会有一个点挪到末端。若假设其中有个点需要做变换，那么就会有次循环，每次循环有次变换。这是最大的计算复杂度。

另外，我们需要关注到的是，每经过一次循环后，每个路径上，都会将离的近的点拉进，离得远的点推远。靠近s端的点会变得靠s端，靠近e端的会变得靠e端。

基于这样的一个现象，如果我们在初始化路径的时候，能自动的，将互相靠近的点相连接，那么，将会大大缩短循环的次数。

在这里提出一种方式，我们将坐标平面沿X轴，以的间隔进行分割，来进行初始化路径。具体的伪代码形式：

点集:D={P1,P2,P3,...,Pn}
二维数组:A[][];int d=10;//栅格间距
int max_i=0;//最大的区间数
for i=0;i max_imax_i=D[i].x/d;
}设路径序列C={}则我们生成路径
for n=0;n |C[i]-C[i+2]|+|C[i+1]-C[i+3]|{exchange(C[i+1],C[i+2]);is_changed=true;}}if is_changedgo back to Optimize;
else
{if |C[0]-C[1]|+|C[C.size-1]-C[C.size-2]| > |C[0]-C[C.size-2]|+|C[C.size-1]-C[0]|exchange(C[0],C[C.size-1]);
}

此算法只是初步设想，具体的算法运行效率，后续会做试验进行验证。有什么不对之处，望指教出来，谢谢！

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