【LetMeFly】808.分汤：好题！

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/soup-servings/

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

1. 提供 100ml 的 汤A 和 0ml 的 汤B 。
2. 提供 75ml 的 汤A 和 25ml 的 汤B 。
3. 提供 50ml 的 汤A 和 50ml 的 汤B 。
4. 提供 25ml 的 汤A 和 75ml 的 汤B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意 不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值： 汤A 先分配完的概率 +  汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的。

示例 1:

输入: n = 50
输出: 0.62500
解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100
输出: 0.71875

提示:

• 0 <= n <= 109​​​​​​​

方法一：特判 + 动态规划

我们将“一份”汤水视为25ml

因“不足时尽可能分配”，故n ml汤水相当于⌈25n⌉\lceil\frac{25}{n}\rceil⌈n25​⌉份

令dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]为“分配前A有i ml，B有j ml”的情况下“要求的概率”（这里要求的概率就是“汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 / 2”）

那么我们就能得到状态转移方程：

dp[i][j]=14×(dp[i−4][j]+dp[i−3][j−1]+dp[i−2][j−2]+dp[i−1][j−3])dp[i][j] = \frac14\times(dp[i - 4][j] + dp[i - 3][j - 1] + dp[i - 2][j - 2] + dp[i - 1][j - 3])dp[i][j]=41​×(dp[i−4][j]+dp[i−3][j−1]+dp[i−2][j−2]+dp[i−1][j−3])

这是因为初始值是[i][j][i][j][i][j]的时候，一次操作会等概率得到[i−4][j][i - 4][j][i−4][j]、[i−3][j−1][i - 3][j - 1][i−3][j−1]、[i−2][j−2][i - 2][j - 2][i−2][j−2]、[i−1][j−3][i - 1][j - 3][i−1][j−3]这四种情况。

注意，假如A汤不足333份，那么[i−3][i - 3][i−3]就由000替换。还是因为那句“不足时尽可能分配”，想取333份A但A不足三份的话，就把A取完（变成0）

最后考虑一下初始值：

• 若初始的时候A和B的量都为0，那么“汤A和汤B同时分配完的概率”为1，“汤A先分配完的概率”为0，“汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 / 2”为0+1/2=0.50+1/2=0.50+1/2=0.5
• 若初始的时候A为0但B的量不为0，那么“汤A先分配完的概率”为1，“汤A和汤B同时分配完的概率”为0，“汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 / 2”为1+0/2=11+0/2=11+0/2=1

复杂度分析：

完了，这DP的复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)咋办？

不用怕，注意“4种方案中”，“不存在先分配 100 ml 汤B 的操作”也就是说A被分配更多的概率更大。当nnn足够大时，AAA先分配完的概率接近于111

我们可以手动尝试一下

int main() {int n;while (cin >> n) {Solution sol;cout << sol.soupServings(n) << endl;}return 0;
}

当n≥5000n\geq5000n≥5000时（甚至更小），得到概率为0.99999.xx0.99999.xx0.99999.xx

满足题目“返回值在正确答案10−510^{-5}10−5的范围内将被认为是正确的”

因此，当nnn足够大时，直接返回111即可。

• 时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)或O(1)O(1)O(1)。当n≥5000n\geq 5000n≥5000时时间复杂度为O(1)O(1)O(1)，否则为O(n2)O(n^2)O(n2)
• 空间复杂度：同时间复杂度

看似O(n2)O(n^2)O(n2)的做法，通过了数据量10910^9109的题目。所以说这题很妙。

AC代码

C++

class Solution {
public:double soupServings(int n) {if (n >= 5000)return 1;n = n / 25 + (n % 25 != 0);vector> dp(n + 1, vector(n + 1, 0));for (int j = 1; j <= n; j++) {dp[0][j] = 1;}dp[0][0] = 0.5;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {dp[i][j] = 0.25 * (dp[max(0, i - 4)][j] + dp[max(0, i - 3)][max(0, j - 1)] + dp[max(0, i - 2)][max(0, j - 2)] + dp[max(0, i - 1)][max(0, j - 3)]);}}return dp[n][n];}
};

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