1、假设 {Xt}\{X_t\}{Xt​} 为平稳过程，定义 Yt=XtY_t=X_tYt​=Xt​，当 ttt 为奇数时；Yt=Xt+3Y_t=X_t+3Yt​=Xt​+3，当 ttt 为偶数时，回答下列问题：
（1）（1）（1） 证明 Cov(Yt,Yt+k)Cov(Y_t,Y_{t+k})Cov(Yt​,Yt+k​) 与 ttt 无关只与 kkk 有关；
（2）（2）（2） {Yt}\{Y_t\}{Yt​} 是否为平稳过程。
证明：
（1）（1）（1） 因为 Yt−E(Yt)=Xt−E(Xt),∀t\quad Y_t-E(Y_t)=X_t-E(X_t),\quad \forall tYt​−E(Yt​)=Xt​−E(Xt​),∀t
所以 Cov(Yt,Yt+k)=E(Yt−E(Yt))(Yt+k−E(Yt+k))=E(Xt−E(Xt))(Xt+k−E(Xt+k))=Cov(Xt,Xt+k)Cov(Y_t,Y_{t+k})=E(Y_t-E(Y_t))(Y_{t+k}-E(Y_{t+k})) \\ \quad \qquad \qquad \qquad= E(X_t-E(X_t))(X_{t+k}-E(X_{t+k})) \\ =Cov(X_t,X_{t+k}) \quad Cov(Yt​,Yt+k​)=E(Yt​−E(Yt​))(Yt+k​−E(Yt+k​))=E(Xt​−E(Xt​))(Xt+k​−E(Xt+k​))=Cov(Xt​,Xt+k​) （2）（2）（2） 当 ttt 为奇数时，E(Yt)=E(Xt)=μxE(Y_t)=E(X_t)=\mu_xE(Yt​)=E(Xt​)=μx​；
当 ttt 为偶数时，E(Yt)=E(Xt+3)=μx+3E(Y_t)=E(X_t+3)=\mu_x+3E(Yt​)=E(Xt​+3)=μx​+3；即 E(Yt)E(Y_{t})E(Yt​) 的值与 ttt 有关，因此不是常数，故 {Yt}\{Y_t\}{Yt​} 不是平稳过程。

2、考虑无穷阶移动平均过程 Xt=Zt+ϕZt−1+ϕ2Zt−2+⋯X_t=Z_t+\phi Z_{t-1}+\phi^2 Z_{t-2}+\cdotsXt​=Zt​+ϕZt−1​+ϕ2Zt−2​+⋯，回答下列问题：
（1）（1）（1） 验证 {Xt}\{X_t\}{Xt​} 为平稳过程，其中 ∣ϕ∣<1|\phi|<1∣ϕ∣<1；
（2）（2）（2） 计算其 ACFACFACF；
（3）（3）（3） 验证 {Xt}\{X_t\}{Xt​} 满足 Xt=ϕXt−1+Zt.X_t=\phi X_{t-1}+Z_t.Xt​=ϕXt−1​+Zt​. 我们把 {Xt}\{X_t\}{Xt​} 称为 111 阶自回归过程，记为 AR(1).AR(1).AR(1).
解:
（1）（1）（1） 因为 {Zt}∼WN(0,σ2)\{Z_t\}\sim WN(0,\sigma^2){Zt​}∼WN(0,σ2)，则 E(Xt)=E(Zt+ϕZt−1+ϕ2Zt−2+⋯)=0E(X_t)=E(Z_t+\phi Z_{t-1}+\phi^2 Z_{t-2}+\cdots)=0E(Xt​)=E(Zt​+ϕZt−1​+ϕ2Zt−2​+⋯)=0 且 γ(k)=Cov(Xt,Xt+k)=∑i=0+∞ϕiϕi+kσZ2=ϕk1−ϕ2σZ2,(k≥0)\gamma(k)=Cov(X_t,X_{t+k})=\sum_{i=0}^{+\infty}\phi^i\phi^{i+k}\sigma^2_{Z}=\frac{\phi^{k}}{1-\phi^2}\sigma^2_Z,\quad (k\geq0)γ(k)=Cov(Xt​,Xt+k​)=i=0∑+∞​ϕiϕi+kσZ2​=1−ϕ2ϕk​σZ2​,(k≥0) 当 k=0k=0k=0 时，γ(0)=Var(Xt)=σZ21−ϕ2<+∞\gamma(0)=Var(X_t)=\frac{\sigma^2_Z}{1-\phi^2}<+\inftyγ(0)=Var(Xt​)=1−ϕ2σZ2​​<+∞，故 {Xt}\{X_t\}{Xt​} 为平稳过程。
（2）（2）（2） ACF：ρk=γ(k)γ(0)=ϕk,(∣ϕ∣<1,k≥0)ACF：\rho_k=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}=\phi^k,\quad (|\phi|<1,k\geq0)ACF：ρk​=γ(0)γ(k)​=ϕk,(∣ϕ∣<1,k≥0) （3）（3）（3） Xt=Zt+ϕZt−1+ϕ2Zt−2+⋯=Zt+ϕ(Zt−1+ϕZt−2+⋯)=Zt+ϕXt−1\begin{align*}X_t&=Z_t+\phi Z_{t-1}+\phi^2 Z_{t-2}+\cdots \\ &=Z_t+\phi(Z_{t-1}+\phi Z_{t-2}+\cdots) \\ &=Z_t +\phi X_{t-1} \end{align*}Xt​​=Zt​+ϕZt−1​+ϕ2Zt−2​+⋯=Zt​+ϕ(Zt−1​+ϕZt−2​+⋯)=Zt​+ϕXt−1​​